Question

已知e₁与e₂是夹角为60°的单位向量，且a=2e₁+e₂，b=-3e₁+2e₂，求a·b及a与b的夹角α.

Answer 1

分析：由于e₁与e₂均为单位向量，且其夹角已知，故可求得e₁与e₂的数量积，进而可求得a·b，再利用模的公式求|a|与|b|，代入夹角余弦公式，可以求a与b的夹角α.

解：∵e₁、e₂均为单位向量，且夹角为60°，

∴e₁·e₂=|e₁||e₂|cos60°=1×1×=.

∴a·b=(2e₁+e₂)·(-3e₁+2e₂)

=-6e₁²+e₁·e₂+2e₂²

=-6|e₁|²+e₁·e₂+2|e₂|²

=-6++2

=-3.

而|a|²=a²=(2e₁+e₂)²

=4e₁²+4e₁·e₂+e₂²

=4|e₁|²+4e₁·e₂+|e₂|²

=4+4×+1=7,

|b|²=b²=(-3e₁+2e₂)²

=9e₁²-12e₁·e₂+4e₂²

=9|e₁|²-12e₁·e₂+4|e₂|²

=7.

∴cosα==-.

∴α=120°.