Question

（本小题满分12分）

已知幂函数y=f₁（x）的图象过点（2，4），反比例函数y=f₂（x）的图象与直线y=x的两个交点间的距离为8，f（x）=f₁（x）+f₂（x）．  （1）求函数f（x）的表达式；   （2）当a＞3时，求函数g（x）= f（x）－f（a）的零点的个数．

Answer 1

(Ⅰ)  f（x）=x²+  (Ⅱ)   三个

解析:

（1）由已知，设f₁（x）=xⁿ，由f₁（2）=4，得n=2；∴f₁（x）=x²．

设f₂（x）=，则其图象与直线y=x的交点分别为A（，），B（－，－）；且；由AB=8，解得k=8；

∴f₂（x）=，∴f（x）=x²+．

   （2）求函数g（x）= f（x）－f（a）的零点的个数，

即求方程f（x）－f（a）=0解的个数；由f（x）=f（a），

得x²+=a²+，即=－x²+a²+．

在同一坐标系内作出f₂（x）=和f₃（x）=－x²+a²+的大致图象（如图所示），

其中f₂（x）的图象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限的双曲线，f₃（x）的图象是以点（0，a²+）为顶点，开口向下的抛物线；f₂（x）与f₃（x）的图象在第三象限有一个交点，即f（x）=f（a）有一个负数解．

又∵f₂（2）=4，f₃（2）=－4+a²+，当a＞3时，f₃（2）－f₂（2）=a²+－8＞0；

∴当a＞3时，f₃（x）在第一象限的图象上存在一点（2，f₃（2））在f₂（x）图象的上方．

∴f₂（x）与f₃（x）的图象在第一象限有两个交点，即f（x）=f（a）有两个正数解．

∴方程f（x）=f（a）有三个实数解，即函数g（x）= f（x）－f（a）的零点有三个．