Question

1．若A={x|x²-mx+m-1=0}，B={x|x²-（2m-1）x+2m=0}，且A∩B≠∅，求m的值和集合A、B及A∪B．

Answer 1

分析 对于集合A：x²-mx+m-1=0化为（x-1）[x-（m-1）]=0，解得x．当m=2时，A={2}，当m≠2时，A={1，m-1}．对于集合B：x²-（2m-1）x+2m=0，当m=2时，方程化为：x²-3x+4=0，方程无解，B=∅，舍去．根据A∩B≠∅，可得集合B中必然含有1或m-1．分别代入计算即可得出．

解答 解：对于集合A：x²-mx+m-1=0化为（x-1）[x-（m-1）]=0，解得x=1或m-1．当m=2时，A={2}，当m≠2时，A={1，m-1}．
对于集合B：x²-（2m-1）x+2m=0，当m=2时，方程化为：x²-3x+4=0，方程无解，B=∅，此时A∩B=∅，舍去．
∵A∩B≠∅，∴集合B中必然含有1或m-1．
把x=1代入上述方程可得：1-（2m-1）+2m=0，可得2=0，舍去．
把x=m-1代入上述方程可得：（m-1）²-（2m-1）（m-1）+2m=0，解得m=0或3．
综上可得：m=0或3．
当m=0时，A={1，-1}，B={0，-1}，A∪B={-1，0，1}．
当m=3时，A={1，2}，B={2，3}，A∪B={1，2，3}．

点评 本题考查了集合的运算及其性质、一元二次方程的解法，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于中档题．