Question

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，向量

m

=（2a+c，b），

n

=（cosB，cosC），且

m

，

n

垂直．
（Ⅰ）确定角B的大小；
（Ⅱ）若∠ABC的平分线BD交AC于点D，且BD=1，设BC=x，BA=y，试确定y关于x的函数式，并求边AC长的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）

m

⊥

n

?

m

•

n

=0，对此式进行化简得（2a+c）cosB+bcosC=0，再使用正弦定理即可求出角B；
（Ⅱ）先由三角形的面积之间的关系S_△ABC=S_△ABD+S_△BCD得出x+y=xy，再使用余弦定理可得：AC2=x2+y2-2xycos

2π

3

=(x+y-

1

2

)2-

1

4

，对x+y=xy使用基本不等式，可求出x+y的取值范围，进而可求出
AC²的取值范围．

解答：解：（ I）∵

m

⊥

n

，∴（2a+c）cosB+bcosC=0，
在△ABC中，由正弦定理得：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=k≠0，
∴a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC，代入得
k[（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC]=0，∴2sinAcosB+sin（B+C）=0，即sinA（2cosB+1）=0．
∵A，B∈（0，π），∴sinA≠0，
∴cosB=-

1

2

，解得B=

2π

3

．
（ II）∵S_△ABC=S_△ABD+S_△BCD，S△ABC=

1

2

xysin

2π

3

=

3

4

xy，S△ABD=

1

2

yisn

π

3

=

3

4

y，S△BCD=

1

2

xsin

π

3

=

3

4

x，
∴xy=x+y，
∴y=

x

x-1

，x∈(1，+∞)．
在△ABC中，由余弦定理得：
AC2=x2+y2-2xycos

2π

3

=x²+y²+xy=（x+y）²-xy=（x+y）²-（x+y）=(x+y-

1

2

)2-

1

4

．
∵x+y=xy≤

(x+y)2

4

，x＞0，y＞0，∴x+y≥4，
∴AC2≥(4-

1

2

)2-

1

4

，∴AC≥2

3

．
又AC＜x+y．
∴AC的取值范围是：AC∈[2

3

，4)．

点评：理解数量积与向量垂直的关系，正确使用正、余弦定理及三角形的面积公式，基本不等式的性质是解决问题的关键．