Question

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=1，BC=，点M、N分别在边AB和AC上（点M和点B不重合），将△AMN沿MN翻折到△A′MN，顶点A′恰好落在边BC上（点A′和点B不重合）。
(1)设∠AMN=θ，x表示线段AM的长度，把x表示为θ的函数，并写出θ的取值范围；
(2)求线段A′N长度的最小值．

Answer 1

解：(1)MA′=MA=x，则MB=1-x，
在Rt△MBA′中，，
∴，
∵点M在线段AB上，点M和点B不重合，点A′和点B不重合，
∴45°＜θ＜90°．
(2)在△AMN中，∠ANM=120°-θ，，
∴，
令

，
∵45°＜θ＜90°，
∴60°＜2θ-30°＜150°，
当且仅当2θ-30°=90°，θ=60°时，t有最大值，
∴θ=60°时，A′N有最小值。