Question

【题目】已知圆的一条直径是椭圆的长轴，过椭圆上一点的动直线与圆相交于点，弦的最小值为.

（1）求圆及椭圆的方程；

（2） 已知点是椭圆上的任意一点，点是轴上的一定点，直线的方程为，若点到定直线的距离与到定点的距离之比为，求定点的坐标.

Answer 1

【答案】(1)圆的方程为，椭圆的方程为；(2) .

【解析】试题分析：（1）当时， 最小，根据垂径定理求半径，根据长轴得a，将点坐标代入椭圆方程解得b,（2）设，利用点到直线距离公式以及两点间距离公式化简条件得恒等式，根据恒等式成立条件解出

试题解析：（1）当时， 最小，因为，所以，

因为圆的一条直径是椭圆的长轴，所以

又点在椭圆上，所以，

所以圆的方程为，椭圆的方程为

（2）依题意设，则点到直线的距离，

点到点的距离为，故有，

即得： ，

又点在椭圆上，则，因此有，

即对恒成立，

所以，即定点的坐标为，即为椭圆的右焦点.