Question

16．设函数f（x）=（2x-1）e^x-mx+m．
（1）当m=0时，求函数f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程．
（2）当m＜1时，若存在唯一整数x₀使得f（x₀）＜0，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；
（2）设函数g（x）=e^x（2x-1），h（x）=mx-m，问题转化为存在唯一的整数x₀使得g（x₀）在直线y=mx-m的下方，求导数可得函数的极值，数形结合可得-m＞g（0）=-1且g（-1）=-3e^-1≥-m-m，解关于m的不等式组可得．

解答 解：（1）f（x）=（2x-1）e^x的导数为f′（x）=e^x（2x-1）+2e^x=e^x（2x+1），
在点P（2，f（2））处的切线斜率为5e²，切点为（2，3e²），
即有在点P（2，f（2））处的切线方程为y-3e²=5e²（x-2），
即为5e²x-y-7e²=0；
（2）设函数g（x）=e^x（2x-1），h（x）=mx-m，
由题意知存在唯一的整数x₀使得g（x₀）在直线y=h（x）=mx-m的下方，
∵g′（x）=e^x（2x-1）+2e^x=e^x（2x+1），
∴当x＜-$\frac{1}{2}$时，g′（x）＜0，当x＞-$\frac{1}{2}$时，g′（x）＞0，
∴当x=-$\frac{1}{2}$时，g（x）取最小值-2${e}^{-\frac{1}{2}}$，
当x=0时，g（0）=-1，当x=1时，g（1）=e＞0，
直线y=mx-m恒过定点（1，0）且斜率为m，
故-m＞g（0）=-1且g（-1）=-3e^-1≥-m-m，
解得$\frac{3}{2e}$≤m＜1．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和极值，涉及转化的思想，属中档题．