Question

（本小题满分12分）

如图，在直四棱柱中，，，，为中点，点在上.

(1)试确定点的位置，使；

(2)当时，求二面角的正切值.

Answer 1

解法一：（1）连结AM，AC，B₁M，AB＝BC，∠ABC＝60°⇒△ABC为正三角形.

⇒MN⊥面AB₁M⇒MN⊥B₁M.…………3分

⇒⇒＝＝⇒NC＝.

即点N的位置在线段CC₁的四等分点且靠近C处.　　　………………………6分

(2)过M作ME⊥AB₁于E，连NE.由(1)知MN⊥面AB₁M，∴NE⊥AB₁(三垂线定理).

∴∠MEN为二面角M—AB₁—N的平面角.          　　　………………9分

MN＝＝，AM＝·2＝，B₁M＝，AB₁＝2.

在Rt△AB₁M中，ME＝＝.

在Rt△EMN中，tan∠MEN＝＝.

∴二面角M—AB₁—N的正切值为.         　　　……………………12分

解法二：(1)分别以BC，BB₁所在直线为轴，过B且与BC垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，则.

.即点N所在位置在比线段CC₁的四等分点且靠近C点处.

(2) 设是平面NAB₁的一个法向量

，则

，

同理可得平面MAB₁的法向量  ，

，所以二面角

M—AB₁—N的正切值为.