题目内容
（2013•鹰潭一模）已知函数f（x）=2
cos2x+2sinxcosx-m（x∈R）．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）x∈[0，
]时，函数f（x）的值域为[-
，2]，求实数m的值．
| 3 |
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）x∈[0，
| π |
| 2 |
| 3 |
分析：（1）利用二倍角、辅助角公式化简函数，即可得到函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）整体思维，求出x∈[0，
]时，函数f（x）的值域，结合条件，即可求实数m的值．
（2）整体思维，求出x∈[0，
| π |
| 2 |
解答：解：（1）∵f(x)=2
cos2x+2sinxcosx-m=2sin(2x+
)+
-m…（3分）
∴函数f（x）的最小正周期为T=π．
由2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
，得kπ-
≤x≤kπ+
，k∈Z
∴函数f（x）的单调增区间为[kπ-
，kπ+
](k∈Z)…（6分）
（2）假设存在实数m符合题意，则
∵x∈[0，
]，∴2x+
∈[
，
]，∴sin（2x+
）∈[-
，1]
∴f(x)=2sin(2x+
)+
-m∈[m，2+m+
]
又∵f(x)∈[-
，2]，
∴m=
…（12分）
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
∴函数f（x）的最小正周期为T=π．
由2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| 5π |
| 12 |
| π |
| 12 |
∴函数f（x）的单调增区间为[kπ-
| 5π |
| 12 |
| π |
| 12 |
（2）假设存在实数m符合题意，则
∵x∈[0，
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 4π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
∴f(x)=2sin(2x+
| π |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
又∵f(x)∈[-
| 3 |
∴m=
| 3 |
点评：本题考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．
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