Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)过点(1，

3

2

)，且离心率e=

1

2

．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），椭圆的右顶点为D，且满足

DA

•

DB

=0，试判断直线l是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由e=

1

2

可得

c

a

=

1

2

，把点(1，

3

2

)代入椭圆方程，及利用a²=b²+c²即可得出．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

得到根与系数的关系，利用

DA

•

DB

=0，得到k_AD•k_BD=-1，即可得出．

解答：解：（Ⅰ）由题意椭圆的离心率e=

1

2

．
∴

c

a

=

1

2

，∴a=2c，
∴b²=a²-c²=3c²
∴椭圆方程为

x2

4c2

+

y2

3c2

=1，
又点(1，

3

2

)在椭圆上，∴

1

4c2

+

( 3 2 )2

3c2

=1，解得c²=1．
∴椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

得（3+4k²）x²+8mkx+4（m²-3）=0，
由△=64m²k²-16（3+4k²）（m²-3）＞0，化为3+4k²-m²＞0．
∴x1+x2=-

8mk

3+4k2

，x1•x2=

4(m2-3)

3+4k2

．
∴y1•y2=(kx1+m)•(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=

3(m2-4k2)

3+4k2

．
∵

DA

•

DB

=0，
∴k_AD•k_BD=-1，又椭圆的右顶点D（2，0），
∴

y1

x1-2

•

y2

x2-2

=-1，y₁y₂+x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0，
∴

3(m2-4k2)

3+4k2

+

4(m2-3)

3+4k2

+

16mk

3+4k2

+4=0，
化为7m²+16mk+4k²=0，解得m1=-2k，m2=-

2k

7

，且满足3+4k²-m²＞0．
当m=-2k时，l：y=k（x-2），直线过定点（2，0），与已知矛盾；
当m=-

2k

7

时，l：y=k(x-

2

7

)，直线过定点(

2

7

，0)．
综上可知，直线l过定点，定点坐标为(

2

7

，0)．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量垂直与直线的斜率上的关系、直线过定点问题，考查了推理能力和计算能力，属于难题．