题目内容

椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上存在一点M，它到左焦点的距离是它到右准线距离的2倍，则椭圆离心率的最小值为
 
．
分析：设它到左焦点的距离是|MF1|，则到右准线距离d，它到右焦点的距离是|MF2|，由椭圆第二定义，求得
c
a
即e的范围，进而求得e的最小值．
解答：解：设P到直线l的距离为d，
根据椭圆的第二定义得
|MF2|
d
=e=
c
a
，|MF1|=2d，且|MF1|+|MF2|=2a，
则|MF1|=2a-|PF2|=2a-
2ac
2a+c
，而|MF1|∈（a-c，a+c），
所以得到
2a-
2ac
2a+c
≥a-c①
2a-
2ac
2a+c
≤a+c②
，由①得：(
c
a
)2+
c
a
+2≥0，
c
a
为任意实数；
由②得：(
c
a
)2+3
c
a
-2≥0，解得
c
a
≥
-3+
17
2
或
c
a
≤
-3-
17
2
（舍去），
所以不等式的解集为：
c
a
≥
-3+
17
2
，即离心率e≥
-3+
17
2
，又e＜1，
所以椭圆离心率的取值范围是[
-3+
17
2
，1）．
故答案为：
17
-3
2
．
点评：本题主要考查了椭圆的基本性质．属基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=
2
2
，右准线方程为x=2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直线l的方程．
精英家教网如图，椭圆
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，求证：|AT|2=
1
2
|AF1||AF2|．
精英家教网如图，椭圆
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF1的中点，求证：∠ATM=∠AF1T．
设 A（x1，y1）、B（x2，y2）是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的两点，O为坐标原点，向量
m
=(
x1
a
，
y1
b
)，
n
=(
x2
a
，
y2
b
)且
m
•
n
=0．
（1）若A点坐标为（a，0），求点B的坐标；
（2）设
OM
=cosθ•
OA
+sinθ•
OB
，证明点M在椭圆上；
（3）若点P、Q为椭圆 上的两点，且
PQ
∥
OB
，试问：线段PQ能否被直线OA平分？若能平分，请加以证明；若不能平分，请说明理由．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=
2
2
，右准线方程为x=2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直线l的方程．

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