Question

【题目】已知圆的圆心在直线上，且圆与：相切于点.过点作两条斜率之积为-2的直线分别交圆于，与，.

（1）求圆的标准方程；

（2）设线段，的中点分别为，，证明：直线恒过定点.

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】

（1）设圆心，由直线与圆相切可知，利用斜率乘积等于可构造方程求得，由点到直线距离等于半径可求得半径，由此可得圆的标准方程；

（2）设，则，将方程与圆的方程联立，由韦达定理和中点坐标公式可求得，代入直线方程求得；以替换可得，结合两点两线斜率公式求得，从而得到直线的方程；将直线的方程整理后，可确定所过定点.

（1）设圆心

圆与相切与点 ，即，解得：

圆的半径

圆的标准方程为：

（2）设，则

联立得：

设，

，

以替换可得：，

直线的方程为，即：

当时， 直线过定点