题目内容

在锐角三角形中，边a、b是方程x²-2 $数学公式$ x+2=0的两根，角A、B满足：2sin（A+B）- $数学公式$ =0，求边长c的值及△ABC的面积．

解：由2sin（A+B）- $\text{[math]}$ =0，得sin（A+B）= $\text{[math]}$ ，
∵△ABC为锐角三角形，∴A+B=120°，∴C=60°，
又∵a、b是方程x²-2 $\text{[math]}$ x+2=0的两根，
∴a+b=2 $\text{[math]}$ ，a•b=2，
∴c²=a²+b²-2a•bcosC=（a+b）²-3ab=12-6=6，
∴c= $\text{[math]}$ ，
△ABC的面积= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ×2× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：利用特殊角的三角函数值，可求C，再利用韦达定理及余弦定理可求c的值，利用三角形的面积公式，可求△ABC的面积．
点评：本题考查余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．

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