Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a²+b²=4a+2b-5，且a²=b²+c²-bc，则sinB的值为

 

．

Answer 1

分析：已知第一个等式变形，利用非负数的性质求出a与b的值，利用余弦定理表示出cosA，将第二个等式变形后代入求出cosA的值，进而求出sinA的值，利用正弦定理即可求出sinB的值．

解答：解：将a²+b²=4a+2b-5变形得：（a²-4a+4）+（b²-2b+1）=0，即（a-2）²+（b-1）²=0，
∴a-2=0，b-1=0，即a=2，b=1，
∵a²=b²+c²-bc，即b²+c²-a²=bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

bc

2bc

=

1

2

，
∵A为三角形的内角，
∴sinA=

1-cos2A

=

3

2

，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

，
得：sinB=

bsinA

a

=

1× 3 2

2

=

3

4

．
故答案为：

3

4

点评：此题考查了正弦定理，余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．