Question

在棱长为a的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，设M、N、E、F分别是棱A₁B₁、A₁D₁、C₁D₁、B₁C₁的中点，求证：

(1)E、F、B、D四点共面；

(2)平面AMN∥平面EFBD.

Answer 1

证明：(1)分别连结B₁D₁、ED、FB，

由正方体性质知B₁D₁∥BD.

∵E、F分别是D₁C₁和B₁C₁的中点，

∴EFB₁D₁.

∴EFBD.

∴E、F、B、D四点共面.

(2)连结A₁C₁交MN于P点，交EF于点Q，连结AC交BD于点O，分别连结PA、QO.

∵M、N为A₁B₁、A₁D₁的中点，

∴MN∥EF.而EF面EFBD.

∴MN∥面EFBD.∵PQAO,

∴四边形PAOQ为平行四边形.∴PA∥QO.

而QO平面EFBD，∴PA∥平面EFBD，

且PA∩MN=P，PA、MN面AMN.

∴平面AMN∥平面EFBD.