Question

已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（2-x）=2f（1），当x≥1时，f(x)=x+

4

x

且x∈[-2，2]时，n≤f（x）≤m恒成立，则m-n的最小值是（　　）

• A．

  2

  3

• B．

  5

  3

• C．1
• D．2

Answer 1

分析：根据x≥1时，f(x)=x+

4

x

，可以推出f（1）=5，可以得f（x）+f（2-x）=2f（1）=10，已知x≥1时的函数解析式，根据题中条件，画出f（x）的草图，在进行求解；

解答：解：∵当x≥1时，f(x)=x+

4

x

，
∴f（1）=1+4=5，
∴f（x）+f（2-x）=2f（1）=10，令x=0，
可得f（0）+f（2）=10，可得f（0）=6，
f（-2）+f（4）=10，可得f（-2）=5，
画出f（x）的草图：

f（x）在（0，2）上为减函数，f（x）在[-2，0]上是增函数，
∴f（x）在x∈[-2，2]上最小值为：f（2）=4，
最大值为f（0）=6，
∴m的最小值为6，n的最大值为4，
∴m-n的最小值是6-4=2，
故选D；

点评：此题主要考查函数的单调性以及应用，此题采用数形结合的方法进行求解，会比较简单，是一道中档题；