Question

已知{ a_n}是等差数列，{ b_n}是等比数列，S_n是{ a_n}的前n项和，a₁=b₁=1，S₂=

12

b2

．
（Ⅰ）若b₂是a₁，a₃的等差中项，求a_n与b_n的通项公式；
（Ⅱ）若a_n∈N^*{ban}是公比为9的等比数列，求证：

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…

1

Sn

＜

5

3

．

Answer 1

分析：求解本题，宜先将S₂=

12

b2

化简用首项与公差、公比表示出来
（Ⅰ）b₂是a₁，a₃的等差中项，由此可以得到2b₂=a₁+a₃，将其与S₂=

12

b2

联立即可求得两数列的公差与公比，由通项公式求出通项即可．
（Ⅱ）由{ban}是公比为9的等比数列，引入公比q，利用等比数列的性质得到

ban+1

ban

=

qnd

q(n-1)d

=q^d=9，即q^d=3²．与S₂=

12

b2

结合可得q=

12

2+d

．再由a_n∈N^*，知d是正整数，再结合q^d=3²．对d，q的值进行判断，验证即得d，q的值，由此S_n可求出，求出其倒数，利用放缩法将其倒数变为可以裂项的形式，将前n项的和的倒数放大即可证明不等式．

解答：解：设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}公比为q．
（Ⅰ）∵S₂=

12

b2

，∴a₁+a₁+d=

12

b1q

，，而a₁=b₁=1，则q（2+d）=12．①
又∵b₂是a₁，a₃的等差中项，
∴a₁+a₃=2b₂，得1+1+2d=2q，即1+d=q．②
联立①，②，解得

d=2 q=3

或

d=-5 q=-4

（4分）
所以a_n=1+（n-1）•2=2n-1，b_n=3^n-1；
或a_n=1+（n-1）•（-5）=6-5n，b_n=（-4）^n-1．（6分）
（Ⅱ）∵a_n∈N^*，ban=b₁qan-1=q^{1+（n-1）d-1}=q^（n-1）d，
∴

ban+1

ban

=

qnd

q(n-1)d

=q^d=9，即q^d=3²．①（8分）
由（Ⅰ）知q（2+d）=12，得q=

12

2+d

．②
∵a₁=1，a_n∈N^*，∴d为正整数，从而根据①②知q＞1且q也为正整数，
∴d可为1或2或4，但同时满足①②两个等式的只有d=2，q=3，
∴a_n=2n-1，S_n=

n(1+2n-1)

2

=n²．（10分）
∴

1

Sn

=

1

n2

＜

1

(n-1)(n+1)

=

1

2

（

1

n-1

-

1

n+1

）（n≥2）．
当n≥2时，

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

1

12

+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜1+2（

1

3

-

1

5

）+2（

1

5

-

1

7

）+…+2（

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=1+2[（

1

3

-

1

5

）+（

1

5

-

1

7

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]
=

5

3

-

1

2n+1

＜

5

3

．
显然，当n=1时，不等式成立．
故n∈N^*，

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

5

3

．（14分）
思路2或者和文科题的解法相同，前两项不变，从第三项

1

32

开始缩小：
当n≥2时，

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜1+

1

22

+

1

2

（

1

2

-

1

4

）+

1

2

（

1

3

-

1

5

）+…+

1

2

（

1

n-1

-

1

n+1

）
=1+

1

4

+

1

2

[（

1

2

-

1

4

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

n-1

-

1

n+1

）]
=1+

1

4

+

1

2

（

1

2

+

1

3

-

1

n

-

1

n+1

）
=

5

3

-

1

n

-

1

n+1

＜

5

3

．

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查了根据题设中的条件建立方程求数列的通项以及用放缩法与裂项求和的技巧证明不等式，本题综合性较强，难度较大，解题过程中有两点比较关键，一是根据数列的项是正整数判断出公差与公比的值，一是由放缩法将前n项的倒数和进行放大为可以裂项的形式，题后应对这两点好好总结．