Question

若函数f（x）=

4x

x2+1

在区间[-m，m]上是单调递增函数，则m的取值范围是（　　）

• A、m≤1
• B、m≥1
• C、0＜m＜2
• D、0＜m≤1

Answer 1

分析：先判定f（x）的奇偶性与单调性，求出f（x）的单调递增区间，再求m的取值范围．

解答：解：∵f（x）=

4x

x2+1

（x∈R），
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）是R上的奇函数；
当x＞0时，f（x）=

4x

x2+1

=

4

x+ 1 x

；
设t=x+

1

x

（x＞0），
∴t≥2，当且仅当x=1时“=”成立，
∴函数t在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；
∴函数f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数；
当x=0时，f（x）=0；
∴f（x）在[0，1]上是增函数．
又f（x）是R上的奇函数，
∴f（x）在[-1，0]上也是增函数．
∴函数f（x）的单调递增区间为[-1，1]，
∵f（x）在[-m，m]上是增函数，
∴-1≤m≤1且-m＜m，
∴0＜m≤1；
∴m的取值范围是{m|0＜m≤1}．
故选：D．

点评：本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，解题时应先判定f（x）的单调性再求m的取值范围，是易错题．