Question

（2013•虹口区二模）若-

π

2

≤α≤

π

2

，0≤β≤π，m∈R，如果有α³+sinα+m=0，(

π

2

-β)3+cosβ+m=0，则cos（α+β）值为（　　）

• A．-1
• B．0
• C．

  1

  2

• D．1

Answer 1

分析：考查函数f（x）=x³+sinx是奇函数，利用导数求得函数f（x）在[-

π

2

，

π

2

]上是增函数．令γ=

π

2

-β，由条件可得 f（α）=-m，f（γ）=-m，故α=γ=

π

2

-β，即 α+β=

π

2

，由此求得cos（α+β）的值．

解答：解：考查函数f（x）=x³+sinx，显然f（x）满足f（-x）=-f（x），故f（x）是奇函数．
∵f′（x）=2x²+cosx，∴若-

π

2

≤x≤

π

2

，则 f′（x）=2x²+cosx≥0，
故函数f（x）在[-

π

2

，

π

2

]上是增函数．
∵α³+sinα+m=0，(

π

2

-β)3+cosβ+m=0，令γ=

π

2

-β，
则有 γ∈[-

π

2

，

π

2

]，γ³+sinγ+m=0．
∴f（α）=-m，f（γ）=-m，故有 f（α）=f（γ）．
根据函数f（x）在[-

π

2

，

π

2

]上是增函数，可得α=γ=

π

2

-β，即 α+β=

π

2

，
故cos（α+β）=0，
故选B．

点评：本题主要考查利用函数的导数研究函数的单调性，函数的奇偶性的应用，求函数的值，属于中档题．