题目内容
已知函数f(x)=x2-(-1)k·2lnx(k∈N*).(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；
(Ⅱ)k是偶数时，正项数列{an}满足a1=1，f′(an)=
，求an的通项公式；
(Ⅲ)k是奇数，x＞0，n∈N*时，求证：[f′(x)]n-2n-1·f′(xn)≥2n(2n-2).
答案：解：(Ⅰ)由已知得x＞0，而f′(x)=2x-(-1)k·.
当k是奇数时，则f′(x)＞0，则f(x)在(0，+∞)上是增函数；
当k是偶数时，则f′(x)=2x
，
所以当x∈(0，1)时，f′(x)＜0；
当x∈(1，+∞)时，f′(x)＞0.
故当k是偶数时，f(x)在(0，1)上是减函数，在(1，+∞)上是增函数.
(Ⅱ)由已知得2an
，
所以{
}是以2为首项，公比为2的等比数列，
故an=
.
(Ⅲ)由已知得f′(x)=2x+
(x＞0)，
所以左边[f′(x)]n-2n-1·f′(xn)=(2x+
)n-2n-1·(2xn+
)
=2n(
)
右倒序相加法得：2S=
(xn-2+
)+
(xn-4+
)+…+
(
+xn-2)
≥2(
)=2(2n-2)，
所以S≥(2n-2).
所以[f′(x)]n-2n-1·f′(xn)≥2n(2n-2)成立.
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