Question

已知函数f(x)=x-

1

x

，g(θ)=sin2θ+

2

sinθ+cosθ

+

2

(1-a)cos(θ-

π

4

)+4-a(θ∈[0，

π

2

])，
（1）求证：f（x）在区间（0，+∞）单调递增．
（2）集合M={a|g(θ)＞0，θ∈[0，

π

2

]}，N={a|f[g(θ)]≥0，θ∈[0，

π

2

]}，求M∩N．

Answer 1

分析：（1）利用导数研究函数f（x），得当x＞0时，f′（x）＞0恒成立，由此可得函（x）在区间（0，+∞）单调递增．
（2）由题意，集合M∩N就是满足集合M、N中的不等式都成立的实数a的取值范围．解f（x）≥0，并结合集合M的条件可得g（θ）≥1恒成立，然后换元：设t=sinθ+cosθ=

2

cos(θ-

π

4

)∈[1，

2

]，将函数f（g（θ））表示成关于t的函数加以分析，可得a≤t+

2

t

恒成立，利用基本不等式求最值即可得到t+

2

t

有最小值2

2

，从而得到M∩N．

解答：解：（1）由于函数f（x）=x-

1

x

，
∴求导数，得f′（x）=1+

1

x2

＞1，可得当x＞0时，f′（x）＞0，
因此，可得函数f（x）在区间（0，+∞）单调递增．
（2）由题意，得f（x）≥0等价于x≥1或-1≤x＜0，
故g（θ）≥1恒成立，
由θ∈[0，

π

2

]，可得cos（θ-

π

4

）∈[

2

2

，1]．
设t=sinθ+cosθ=

2

cos(θ-

π

4

)∈[1，

2

]，
则g(θ)=t2-1+

2

t

+(1-a)t+4-a，
∴g（θ）≥1，即t2-1+

2

t

+(1-a)t+4-a=(t+1)(t+

2

t

-a)≥0…（*）
由于t+1≥2为正数，所以不等式（*）等价于t+

2

t

-a≥0
可得a≤t+

2

t

恒成立，即a≤（t+

2

t

）_min，
∵函数y=t+

2

t

在（0，

2

）上是增函数，在（

2

，+∞）上为减函数
∴当t=

2

时，t+

2

t

有最小值2

2

，因此a≤2

2

综上所述，满足集合M、N中的不等式都成立的实数a的取值范围为（-∞，2

2

]，即M∩N=（-∞，2

2

]．

点评：本题给出复合三角函数，讨论函数的单调性与最值，并求集合的交集．着重考查了三角函数的图象与性质、利用导数研究函数的单调性和不等式恒成立的讨论等知识，属于中档题．