Question

已知函数f（x）=ax-2lnx，a∈R．
（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）在（1，f（1））的切线方程．
（Ⅱ）求函数f（x）的极值．
（Ⅲ）对于曲线上的不同两点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），如果存在曲线上的点Q（x₀，y₀），且x₁＜x₀＜x₂，使得曲线在点Q处的切线l∥P₁P₂，则称l为弦P₁P₂的伴随切线．当a=2时，已知两点A（1，f（1）），B（e，f（e）），试求弦AB的伴随切线l的方程．

Answer 1

（I）当a=3时，f（x）=3x-2lnx，则f（1）=3，f′(x)=3-

2

x

∴f'（1）=1
∴切线方程为y-3=x-1即x-y+2=0…（4分）
（Ⅱ）f′(x)=a-

2

x

，x＞0．
当a≤0时，f'（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）内是减函数，∴函数f（x）没有极值．        …（6分）
当a＞0时，令f'（x）=0，得x=

2

a

．
当x变化时，f'（x）与f（x）变化情况如下表：

x	(0， 2 a )	2 a	( 2 a ，+∞)
f'（x）	-	0	+
f（x）	单调递减	极小值	单调递增

∴当x=

2

a

时，f（x）取得极小值f(

2

a

)=2-2ln

2

a

．
综上，当a≤0时，f（x）没有极值；
当a＞0时，f（x）的极小值为2-2ln

2

a

，没有极小值．…（9分）
（Ⅲ）当a=2时，设切点Q（x₀，y₀），则切线l的斜率为f′(x0)=2-

2

x0

，x0∈(1，e)．
弦AB的斜率为kAB=

f(e)-f(1)

e-1

=

2(e-1)-2(1-0)

e-1

=2-

2

e-1

． …（10分）
由已知得，l∥AB，则2-

2

x0

=2-

2

e-1

，解得x₀=e-1，…（12分）
所以，弦AB的伴随切线l的方程为：y=

2e-4

e-1

x+2-2ln(e-1)．…（14分）