Question

定义在R上的函数f（x）满足f（x）=

log2(1-x)(x≤0) f(x-1)-f(x-2)，(x＞0)

，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）的值为（　　）

• A、-2
• B、-1
• C、1
• D、2

Answer 1

分析：根据函数的表达式得到在x＞0时的周期性，然后利用累加法即可求出函数的值．

解答：解：∵当x＞0时，f（x）=f（x-1）-f（x-2），
∴f（x+1）=f（x）-f（x-1），
即f（x+1）=f（x-1）-f（x-2）-f（x-1）=-f（x-2），
∴f（x+3）=-f（x），
即f（x+6）=f（x），
∴当x＞0时，函数的周期是6．
∴f（1）=f（0）-f（-1），
f（2）=f（1）-f（0），
f（3）=f（2）-f（1），
…
f（2013）=f（2012）-f（2011），
等式两边同时相加得
f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）=f（2012）-f（-1），
∵f（-1）=1，f（0）=0，
f（2012）=f（2）=f（1）-f（0）=f（1）=f（0）-f（-1）=0-1=-1，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）=f（2012）-f（-1）=-1-1=-2，
故选：A．

点评：本题主要考查利用函数的表达式进行求值，利用累加法是解决本题的关键，考查学生的计算能力．