Question

求证：在直角三角形中，三条边的长成等差数列的充要条件是它们的比为3∶4∶5.

Answer 1

答案：
解析：

证明：（1）必要性 假定直角三角形三条边的长成等差数列，将这三条边的长从小到大排列，它们可以表示为a－d,a,a+d,这里a－d＞0,d＞0. 由于它们是直角三角形的三条边的长. ∴（a－d）2+a2=(a+d)2,即a=4d. 从而这三条边的长是3d,4d,5d. 因此，这三条边的长的比是3∶4∶5. (2)充分性 如果直角三角形三条边的长a,b,c的比为3∶4∶5，那么可设，a=3k,b=4k,c=5k,(k＞0) ∵b－a=k,c－b=k,∴b－a=c－b 即a,b,c成等差数列. 综上，命题得证.