Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=2 

2

，E，F分别是AD，PC的中点
（Ⅰ）证明：PC⊥平面BEF；
（Ⅱ）求平面BEF与平面BAP所成二面角的大小．

Answer 1

分析：（I）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出各顶点的坐标，进而求出PC，BE，BF的方向向量，根据向量的数量积为0，则向量垂直，可证得PC⊥BF，PC⊥EF，再由线面垂直的判定定理得到答案．
（II）由已知及（I）中结论，可得向量

AD

=（0，2 

2

，0）是平面BAP的一个法向量，向量

PC

=（2，2 

2

，-2）是平面BEF的一个法向量，代入向量夹角公式，可得平面BEF与平面BAP所成二面角的大小．

解答：解：∵四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=2 

2

，E，F分别是AD，PC的中点
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则
P（0，0，2），A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2 

2

，0），D（0，2 

2

，0），E（0，

2

，0），F（1，

2

，1）
证明：（I）由题意得

PC

=（2，2 

2

，-2），

BE

=（-2，

2

，0），

BF

=（-1，

2

，1），
∵

PC

•

BE

=-4+4+0=0，

PC

•

BF

=-2+4-2=0
∴

PC

⊥

BE

，

PC

⊥

BF

∴PC⊥BF，PC⊥EF，又∵BF∩EF=F，
∴PC⊥平面BEF
解：（II）由已知可得向量

AD

=（0，2 

2

，0）是平面BAP的一个法向量
由（I）得向量

PC

=（2，2 

2

，-2）是平面BEF的一个法向量
设平面BEF与平面BAP所成二面角的大小为θ
则cosθ=

| AD • PC |

| AD |•| PC |

=

2

2

则θ=45°
即平面BEF与平面BAP所成二面角为45°

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，二面角的求法，其中建立空间直角坐标系，将线线垂直问题和二面角问题转化为向量垂直及向量夹角问题是解答本题的关键．