Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=2-a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足b_n=λa_n-a_n²，若n≥5时，b_n+1＜b_n恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题设知a₁=1，a_n+S_n=2，a_n+1+S_n+1=2，两式相减：a_n+1-a_n+a_n+1=0，故有2a_n+1=a_n，

an+1

an

=

1

2

，n∈N+，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）先表示出b_n=λa_n-a_n²，进而可表示b_n+1-b_n，即λ＞3•(

1

2

)n，要使n≥5时，b_n+1＜b_n恒成立，即使λ＞3•(

1

2

)5，故可得实数λ的取值范围．

解答：解：（1）∵n=1时，a₁+S₁=a₁+a₁=2，∴a₁=1，
∵S_n=2-a_n，即a_n+S_n=2，∴a_n+1+S_n+1=2，两式相减：a_n+1-a_n+a_n+1=0，
故有2a_n+1=a_n，∵a_n≠0，∴

an+1

an

=

1

2

，n∈N+
所以，数列{a_n}为首项a1=1，公比为

1

2

的等比数列，
∴an=(

1

2

)n-1
（2）b_n=λa_n-a_n²=λ•(

1

2

)n-1-(

1

4

)n-1
b_n+1-b_n=-λ•(

1

2

)n+3•(

1

4

)n
∵b_n+1＜b_n，∴λ＞3•(

1

2

)n
∵n≥5时，b_n+1＜b_n恒成立，
∴λ＞3•(

1

2

)5，∴λ＞

3

32

∴实数λ的取值范围是(

3

32

，+∞)

点评：本题的考点是数列与不等式的综合，主要考查迭代法求数列通项公式的方法，考查最值法解决恒成立问题，关键是写出两式，作差化简，构建等比数列．