题目内容

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量 $数学公式$ ， $数学公式$ 且 $数学公式$ ．
（Ⅰ）求角A的值；
（Ⅱ）若 $数学公式$ ，试判断bc取得最大时△ABC的形状．

解：（Ⅰ）由已知得， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，
∵0＜A＜π，∴ $\text{[math]}$
（Ⅱ）由余弦定理可得 $\text{[math]}$ ．
∵b²+c²≥2bc，∴3≥2bc-bc，即bc≤3，
当且仅当 $\text{[math]}$ 时，bc取得最大值，此时 $\text{[math]}$ ，
故△ABC为等边三角形．
分析：（I）利用向量的数量积的坐标表示可得， $\text{[math]}$ ，结合0＜A＜π，可得 $\text{[math]}$
（II）由余弦定理可得， $\text{[math]}$ ．
由基本不等式b²+c²≥2bc可得3≥2bc-bc从而可得，bc≤3，当 $\text{[math]}$ 取等号，从而可得
点评：本题主要考查了向量数量积的坐标表示余弦定理的应用，基本不等式的应用，等知识求解三角函数值、判断三角形的形状．属于综合试题，但难度不大．

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