Question

12．已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1．若对任意m，n∈[-1，1]，m+n≠0都有[f（m）+f（n）]（m+n）＞0．
（1）判断函数f（x）的单调性，并说明理由；
（2）若$f（a+\frac{1}{2}）+f（-3a）＜0$，求实数a的取值范围；
（3）若不等式f（x）≤3-|t-a|a对所有x∈[-1，1]和a∈[1，3]都恒成立，求实数t的范围．

Answer 1

分析 （1）由奇函数的定义和单调性的定义，将n换为-n，即可得到；
（2）由题意可得f（a+$\frac{1}{2}$）＜-f（-3a）=f（3a），由f（x）在[-1，1]递增，可得不等式组，解得即可；
（3）由题意可得，3-|t-a|a≥f（x）_max=1，即|t-a|a≤2对a∈[1，3]恒成立．再由绝对值的含义，可得$a-\frac{2}{a}≤t≤a+\frac{2}{a}$对a∈[1，3]恒成立，分别求得两边函数的最值，即可得到t的范围．

解答 解：（1）用-n代替n得：[f（m）+f（-n）]（m-n）＞0，又f（x）为奇函数，
则[f（m）-f（n）]（m-n）＞0，
根据符号法则及单调性的定义可知：f（x）为增函数；
（2）若$f（a+\frac{1}{2}）+f（-3a）＜0$，即为f（a+$\frac{1}{2}$）＜-f（-3a）=f（3a），
由f（x）在[-1，1]递增，可得
$\left\{\begin{array}{l}-1≤a+\frac{1}{2}≤1\\-1≤3a≤1\\ 3a＞a+\frac{1}{2}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{4}＜a≤\frac{1}{3}$；
（3）由题意可得，3-|t-a|a≥f（x）_max=1，
即|t-a|a≤2对a∈[1，3]恒成立．
即$a-\frac{2}{a}≤t≤a+\frac{2}{a}$对a∈[1，3]恒成立，
由于a-$\frac{2}{a}$在[1，3]递增，可得a=3时，取得最大值；
a+$\frac{2}{a}$≥2$\sqrt{a•\frac{2}{a}}$=2$\sqrt{2}$，当且仅当a=$\sqrt{2}$取得最小值．
即有$\left\{\begin{array}{l}t≥3-\frac{2}{3}\\ t≤2\sqrt{2}\end{array}\right.$$⇒2\sqrt{2}≤t≤\frac{7}{3}$．

点评 本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：求最值和解不等式，考查不等式恒成立问题的解法注意转化为求函数的最值，考查运算能力，属于中档题．