Question

【题目】已知椭圆,圆的圆心在椭圆上，点到椭圆的右焦点的距离为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作互相垂直的两条直线,且交椭圆于两点, 直线交圆于两点, 且为的中点, 求的面积的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）首先运用两点间的距离公式求得的值，然后根据圆的圆心在椭圆上得到关于的方程，由此求得的值，从而得到椭圆的方程；（2）首先由题意得的斜率不为零，然后求得当垂直轴的面积；当不垂直轴时, 设出直线的方程，并联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，由三角形的面积公式化简整理，再利用换元法结合的单调性求得的面积的取值范围．

试题解析：（1）因为椭圆 的右焦点．

在椭圆上,．

由得所以椭圆的方程为.

（2）由题意可得的斜率不为零, 当垂直轴时,的面积为,

当不垂直轴时, 设直线的方程为：，

则直线的方程为：．

由消去得,所以,

则，

又圆心到的距离得，

又,所以点到的距离点到的距离．

设为,即，

所以面积，

令,则,,

综上, 的面积的取值范围为.