Question

已知函数f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）．
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间；
（2）当x∈[-

π

4

，

π

4

]时，求函数f（x）的最大值及最小值．

Answer 1

分析：（1）找出函数f（x）解析式中的ω的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期，由正弦函数的单调递增区间[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]列出关于x的不等式，求出不等式的解集即为函数的单调递增区间；
（2）由x的范围，求出2x+

π

4

的范围，根据正弦函数的图象与性质可得2x+

π

4

为

π

2

时，f（x）取得最大值，当2x+

π

4

为-

π

4

时函数f（x）取得最小值，分别求出最大值和最小值即可．

解答：解：（1）f（x）=

2

sin（2x+

π

4

），
∵ω=2，∴最小正周期T=

2π

ω

=π，（2分）
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
解得kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

（k∈Z），
故函数f（x）的单调增区间是[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]（k∈Z）；（7分）
（2）当x∈[-

π

4

，

π

4

]时，（2x+

π

4

）∈[-

π

4

，

3π

4

]，（9分）
故当2x+

π

4

=

π

2

，即x=

π

8

时，f（x）有最大值

2

，（11分）
当2x+

π

4

=-

π

4

，即x=-

π

4

时，f（x）有最小值-1．（12分）

点评：本题考查三角函数的最值，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，考查计算能力，熟练掌握正弦函数的图象与性质是解本题的关键．