题目内容

两个数列{an}和{bn}满足

bn=(n∈N+),

(1)若数列{bn}是等差数列，求证：{an}也是等差数列；

（2）试问（1）的逆命题能否成立？若能成立，给出证明；若不成立，说明理由.

分析：由已知得a1+2a2+…+nan=n(n+1)·bn，       ①

那么a1+2a2+…+(n-1)an-1=(n-1)n·bn-1(n≥2)，        ②

①-②并整理得an=(n+1)bn-(n-1)bn-1.

(1)证明：设{bn}的公差为d，由已知得a1=b1,

∴an=(n+1)［a1+(n-1)d］-(n-1)［a1+(n-2)d］=a1+(n-1)·.

∴数列{an}是首项为a1，公差为的等差数列.

(2)证明：假设数列{bn}是等差数列，其公差为d,

由已知a1=b1,?故bn=a1+(n-1)d.

∵{an}是等差数列，设其公差为d′，

且an=a1+(n-1)d′，

∴a1+(n-1)d′=(n+1)［a1+(n-1)d］-(n-1)［a1+(n-2)d］=a1+(n-1)·.

∵上式对任何n∈N+都成立,

∴d′=,d=d′,

也就是说存在d使bn=a1+(n-1)d成立，数列{bn}可以是等差数列，因此（1）的逆命题能成立.

练习册系列答案
相关题目
已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足：an+1=
anbn
an2+bn2
，n∈N*．
（1）求证：当n≥2时，有an≤
2
2
成立；
（2）设bn+1=
bn
an
，n∈N*，求证：数列{(
bn
an
)2}是等差数列；
（3）设bn+1=anbn，n∈N*，试问{an}可能为等比数列吗？若可能，请求出公比的值，若不可能，请说明理由．
已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足：an+1=
an+bn
a
2
n
+b
2
n
，n∈N﹡，
（Ⅰ）设bn+1=1+
bn
an
，n∈N﹡，求证：
（1）
bn+1
an+1
=
1+(
bn
an
)2
；
（2）数列{(
bn
an
)2}是等差数列，并求出其公差；
（Ⅱ）设bn+1=
2
•
bn
an
，n∈N﹡，且{an}是等比数列，求a1和b1的值．
（2012•江苏）已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足：an+1=
an+bn
an2+bn2
，n∈N*，
（1）设bn+1=1+
bn
an
，n∈N*，，求证：数列{(
bn
an
) 2}是等差数列；
（2）设bn+1=
2
•
bn
an
，n∈N*，且{an}是等比数列，求a1和b1的值．
已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足：an+1=，n∈N﹡，
（Ⅰ）设bn+1=1+，n∈N﹡，求证：
（1）=；
（2）数列{}是等差数列，并求出其公差；
（Ⅱ）设，n∈N﹡，且{an}是等比数列，求a1和b1的值．

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