题目内容
设F1，F2是双曲线x2-
=1的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使(
+
)•
=0（O为原点坐标）且|PF1|=λ|PF2|，则λ的值为
| y2 |
| 4 |
| OP |
| OF2 |
| F2P |
2
2
．分析：由已知中(
+
)•
=0可得|
|=|
|，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得△PF1F2是以P为直角的直角三角形，进而根据P是双曲线右支上的点，及双曲线的性质结合勾股定理构造方程可得|PF2|，|PF1|，进而求出λ的值．
| OP |
| OF2 |
| F2P |
| OP |
| OF2 |
解答：解：由双曲线方程x2-
=1可得
a=1，b=2，c=
，
∴|
|=
又∵(
+
)•
=0
∴(
+
)•(
-
)=0
∴
2-
2=0
∴|
|=|
|=
故△PF1F2是以P为直角的直角三角形
又∵P是双曲线右支上的点
∴|PF1|＞|PF2|，
∴|PF1|=|PF2|+2，
由勾股定理可得|PF1|2+（|PF2|+2）2=4C2=20
解得|PF2|=2，|PF1|=4
故λ=2
故答案为2
| y2 |
| 4 |
a=1，b=2，c=
| 5 |
∴|
| OF2 |
| 5 |
又∵(
| OP |
| OF2 |
| F2P |
∴(
| OP |
| OF2 |
| OP |
| OF2 |
∴
| OP |
| OF2 |
∴|
| OP |
| OF2 |
| 5 |
故△PF1F2是以P为直角的直角三角形
又∵P是双曲线右支上的点
∴|PF1|＞|PF2|，
∴|PF1|=|PF2|+2，
由勾股定理可得|PF1|2+（|PF2|+2）2=4C2=20
解得|PF2|=2，|PF1|=4
故λ=2
故答案为2
点评：本题考查的知识点是双曲线的简单性质，平面向量的数量积运算，其中根据已知中(
+
)•
=0可得|
|=|
|，进而判断出△PF1F2是以P为直角的直角三角形是解答的关键．
| OP |
| OF2 |
| F2P |
| OP |
| OF2 |
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