Question

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且4cosC•sin2

C

2

+cos2C=0．
（1）若tanA=2tanB，求sin（A-B）的值；
（2）若3ab=25-c²，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

（1）由4cosC•sin2

C

2

+cos2C=0，
化简得：4cosC•

1-cosC

2

+2cos²C-1=0，
即cosC=

1

2

，又C为三角形的内角，则有C=

π

3

，
∴sinC=

3

2

，又C=π-（A+B），
∴sin（A+B）=

3

2

，
∵tanA=2tanB，
∴

sin(A+B)

sin(A-B)

=

sinAcosB+cosAsinB

sinAcosB-cosAsinB

=

tanA+tanB

tanA-tanB

=3，
则sin（A-B）=

3

6

；
（2）根据正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R，
得到a=2RsinA，b=2RsinB，又sinC=

3

2

，
则△ABC面积S=

1

2

absinC
=

3

R²sinAsinB
=

3

R²sinAsin（

2π

3

-A）
=

3

R²（

3

2

sinAcosA+

1

2

sin²A）
=

3

R²[

1

2

sin（2A-

π

6

）+

1

4

]，
当2A-

π

6

=

π

2

，即A=

π

3

时，
正弦函数sin（2A-

π

6

）取得最大值1，此时面积S取得最大值为

3 3

4

R²，
此时三角形为等边三角形，则有a=b=c，
∴3ab=25-c²化简得：c=

5

2

，
此时R=

c

2sinC

=

5 3

6

，
则三角形ABC面积的最大值为

75 3

48

=

25 3

16

．