Question

已知函数f（x）=lnx+ax-a²x²（a∈R）．
（I）若x=1是函数y=f（x）的极值点，求a的值；
（II）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（I）由题设条件，可求出函数的导数，利用f′（1）=0建立方程求出a的值；
（II）求导函数，再进行分类讨论，利用导数大于0，求得函数的单调增区间；利用导数小于0，求得函数的单调减区间．

解答：解：（I）因为f（x）=lnx+ax-a²x²其定义域为（0，+∞），
所以f′(x)=

1

x

-2a2x+a=

-2a2x2+ax+1

x

=

-(2ax+1)(ax-1)

x

∵x=1是函数y=f（x）的极值点
∴f′（1）=0
∴1+a-2a²=0
∴a=-

1

2

或a=1
经检验，a=-

1

2

或a=1时，x=1是函数y=f（x）的极值点
（II）f′(x)=

1

x

-2a2x+a=

-2a2x2+ax+1

x

=

-(2ax+1)(ax-1)

x

若a=0，f′(x)=

1

x

＞0，∴函数的单调递增区间为（0，+∞）
若a≠0，令f′(x)=

-(2ax+1)(ax-1)

x

=0，∴x1=-

1

2a

，x2=

1

a

当a＞0时，函数在区间(0，

1

a

)，f′（x）＞0，函数为增函数；在区间(

1

a

，+∞)，f′（x）＜0，函数为减函数
∴函数的单调递增区间为(0，

1

a

)，函数的单调递减区间为(

1

a

，+∞)
当a＜0时，函数在区间(0，-

1

2a

)，f′（x）＞0，函数为增函数；在区间(-

1

2a

，+∞)，f′（x）＜0，函数为减函数
∴函数的单调递增区间为(0，-

1

2a

)，函数的单调递减区间为(-

1

2a

，+∞)

点评：本题以函数为载体，考查导数的运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，解题的关键是正确求导．