Question

如图，平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，四边形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥BA，BD=AE=2，O，M分别为CE，AB的中点．
(Ⅰ)求证：OD∥平面ABC；
(Ⅱ)求直线CD和平面ODM所成角的正弦值；
(Ⅲ)能否在EM上找一点N，使得ON⊥平面ABDE？若能，请指出点N的位置，并加以证明；若不能，请说明理由。

Answer 1

(Ⅰ)证明：取AC中点F，连接OF，FB， ∵F是AC的中点，O为CE的中点， ∴OF∥EA且OF=EA， 又BD∥AE且BD=AE， ∴OF∥DB，OF=DB， ∴四边形BDOF是平行四边形，  ∴OD∥FB， 又∵FB平面ABC，OD平面ABC， ∴OD∥面ABC。 (Ⅱ)解：∵DB⊥BA，又面ABDE⊥面ABC， 面ABDE∩面ABC=AB，DB面ABDE， ∴DB⊥面ABC， ∵BD∥AE， ∴EA⊥面ABC， 如图，以C为原点，分别以CA，CB为x，y轴， 以过点C且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系， ∵AC=BC=4， ∴各点坐标为：C（0，0，0），A（4，0，0），B（0，4，0）， D（0，4，2），E（4，0，4）， ∴O（2，0，2），M（2，2，0）， 设平面ODM的法向量n=（x，y，z）， 则由且可得， 令x=2，得y=1，z=1， ∴n=（2，1，1）， 设直线CD和平面ODM所成角为θ， 则， ∴直线CD和平面ODM所成角的正弦值为。 (Ⅲ)解：当N是EM中点时，ON⊥平面ABDE， 取EM中点N，连接ON，CM， ∵AC=BC，M为AB中点， ∴CM⊥AB， 又∵面ABDE⊥面ABC，面ABDE∩面ABC=AB， CM面ABC， ∴CM⊥平面ABDE， ∵N是EM中点，O为CE中点， ∴ON∥CM，  ∴ON⊥平面ABDE．