Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AB⊥BB₁，AC=BC=BB₁，D为AB的中点，且CD⊥DA₁．
（1）求证：BC₁∥平面DCA₁；
（2）求BC₁与平面ABB₁A₁所成角的大小．

Answer 1

证明：（1）如图一，连接AC₁与A₁C交于点K，连接DK．
在△ABC₁中，D、K为中点，∴DK∥BC₁、（4分）
又DK?平面DCA₁，BC₁?平面DCA₁，∴BC₁∥平面DCA₁、（6分）







图一　　　　　　　　　图二　　　　　　　　图三
（2）证明：（方法一）如图二，∵AC=BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB、
又CD⊥DA₁，AB∩DA₁=D，∴CD⊥平面ABB₁A₁、（8分）
取A₁B₁的中点E，又D为AB的中点，∴DE、BB₁、CC₁平行且相等，
∴DCC₁E是平行四边形，∴C₁E、CD平行且相等．
又CD⊥平面ABB₁A₁，∴C₁E⊥平面ABB₁A₁，∴∠EBC₁即所求角、（10分）
由前面证明知CD⊥平面ABB₁A₁，∴CD⊥BB₁，
又AB⊥BB₁，AB∩CD=D，∴BB₁⊥平面ABC，∴此三棱柱为直棱柱．
设AC=BC=BB₁=2，∴BC1=2

2

，EC1=

2

，∠EBC₁=30°、（12分）
（方法二）如图三，∵AC=BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB、
又CD⊥DA₁，AB∩DA₁=D，∴CD⊥平面ABB₁A₁、（8分）
取DA₁的中点F，则KF∥CD，∴KF⊥平面ABB₁A₁．
∴∠KDF即BC₁与平面ABB₁A₁所成的角．（10分）
由前面证明知CD⊥平面ABB₁A₁，∴CD⊥BB₁，
又AB⊥BB₁，AB∩CD=D，∴BB₁⊥平面ABC，∴此三棱柱为直棱柱．
设AC=BC=BB₁=2，∴KF=

2

2

，DK=

2

，∴∠KDF=30°、（12分）