Question

已知等差数列{a_n}（n∈N^*）中，a₂=8，前10项和S₁₀=185．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{

1

anan+1

}的前n项和T_n；
（Ⅲ）若从数列{a_n}中依次取出第2，4，8，…，2ⁿ，…项，按原来的顺序排成一个新的数列{b_n}，试求新数列{b_n}的前n项和A_n．

Answer 1

分析：（I）由已知可得

a1+d=8 10a1+ 10×9 2 d=185

，解方程可求a₁，d，进而可求通项公式
（II）由

1

anan+1

=

1

(3n+2)(3n+5)

=

1

3

(

1

3n+2

-

1

3n+5

)，故考虑利用裂项求和即可
（III）由bn=a2n=3•2n+2，则新数列的前n项和An=a2+a4+a8+…+a2n，利用等比数列的求和公式可求

解答：解．（I）数列{a_n}为等差数列，a₂=8，S₁₀=185．
∴

a1+d=8 10a1+ 10×9 2 d=185

∴

a1=5 d=3

a_n=5+（n-1）×3=3n+2…（4分）
（II）

1

anan+1

=

1

(3n+2)(3n+5)

=

1

3

(

1

3n+2

-

1

3n+5

)
Tn=

1

3

[(

1

5

-

1

8

)+(

1

8

-

1

11

)+(

1

11

-

1

14

)+…+(

1

3n+2

-

1

3n+5

)]…(6分)
=

1

3

(

1

5

-

1

3n+5

)…(8分)
=

n

15n+25

…(9分)
（III）bn=a2n=3•2n+2…（11分）
新数列的前n项和An=a2+a4+a8+…+a2n
=3（2+4+8+…+2ⁿ）+2n
=3

2(1-2n)

1-2

+2n
=3•2ⁿ⁺¹-6+2n…（13分）

点评：本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，数列求和方法中的裂项求和的应用及等比数列的性质：在等比数列中相隔相等的相等的项抽出一项组成新的数列任然是等比数列