题目内容

设是由满足下列两个条件的函数构成的集合：①方程 有实根; ②函数的导函数满足（1）判断函数是不是集合中的元素,并说明理由;（2）若集合的元素具有以下性质：“设的定义域为,对于任意都存在使得等式成立.”试用这一性质证明：方程只有一个实数根；（3设是方程的实根,求证:对函数定义域中任意,,当,且时, .

（1） （2）略；（3）略


解析:

：（1）函数是集合中的元素.事实上，方程就是此方程有实根0.又而,所以

   ,满足  ……3分

（2）用反证法.假设方程有两个不相等的实数根,则

由函数性质, 存在使得等式

成立,即而

所以,此与矛盾.故方程只有一个实数根.………8分

（3）不妨设.因为所以在其定义域上是增函数,于是

又因为所以是定义域上的减函数.于是

即

  故<1+1=2

练习册系列答案
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设M是由满足下列两个条件的函数f（x）构成的集合：
（1）方程f（x）-1=0有实数解；
（2）函数f（x）的导数f'（x）满足0＜f'（x）＜2，给出如下函数：
①f（x）=x+sinx；
②f(x)=x+tanx，x∈(-
π
2
，
π
2
)；
③f（x）=x+log3x，x∈[1，+∞）；
④f（x）=x+2x．
其中是集合M中的元素的有
 
．（只需填写函数的序号）
设S是由满足下列两个条件的实数组成的集合：
①不含1；
②a∈S，则
11-a
∈S．
问：
（Ⅰ）如果2∈S，研究S中元素个数，并求出这些元素；
（Ⅱ）集合S中元素的个数能否只有一个？

设M是由满足下列两个条件的函数构成的集合：

       ①议程有实根；②函数的导数满足0<<1.

   （I）若，判断方程的根的个数；

   （II）判断（I）中的函数是否为集合M的元素；

   （III）对于M中的任意函数，设x1是方程的实根，求证：对于定义域中任意的x2，x3，当| x2－x1|<1，且| x3－x1|<1时，有

 设是由满足下列两个条件的函数构成的集合：

（1）方程有实数解；

（2）函数的导数满足，给出如下函数：

①；

②

③

④。

其中是集合中的元素的有              。（只需填写函数的序号）

 

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