Question

（2013•海淀区二模）若数列{a_n}满足：存在正整数T，对于任意正整数n都有a_n+T=a_n成立，则称数列{a_n}为周期数列，周期为T．已知数列{a_n}满足a₁=m（m＞0），an+1=

an-1，an＞1 1 an ，0＜an≤1

则下列结论中错误的是（　　）

• A．若a₃=4，则m可以取3个不同的值
• B．若m=

  2

  ，则数列{a_n}是周期为3的数列
• C．?T∈N^*且T≥2，存在m＞1，使得{a_n}是周期为T的数列
• D．?m∈Q且m≥2，使得数列{a_n}是周期数列

Answer 1

分析：利用周期数列的定义，分别进行推理证明．

解答：解：对于选项A，因为an+1=

an-1，an＞1 1 an ，0＜an≤1

，
所以

a2＞1 a3=a2-1

或

0＜a2≤1 a3= 1 a2

，
因为a₃=4，所以a₂=5或a2=

1

4

，
又因为

a1＞1 a2=a1-1

或

0＜a1≤1 a2= 1 a1

，a₁=m，所以m=6或m=

5

4

或m=

1

5

，所以选项A正确；
对于选项B，m=

2

＞1，所以a2=

2

-1＜1；所以a3=

1

a2

=

2

+1＞1，所以a4=a3-1=

2

，
所以数列{a_n}是周期为3的数列，所以选项B正确；
对于选项C，当B可知当m=

2

＞1时，数列{a_n}是周期为3的周期数列，所以C正确．
故错误的是D．
故选D．

点评：本题主要考查周期数列的推导和应用，考查学生的推理能力．