题目内容

（1）证明：函数f（x）=x+ $数学公式$ 在（0， $数学公式$ ]上是减函数，在[ $数学公式$ ，+∞）上是增函数；
（2）试讨论方程x+ $数学公式$ =a，（x∈（1，2]，a∈R）的解的个数．

（1）证明：求导函数可得f′（x）=1- $\text{[math]}$
当x∈（0， $\text{[math]}$ ]时，f′（x）≤0；当x∈[ $\text{[math]}$ ，+∞）时，f′（x）≥0，
∴函数f（x）=x+ $\text{[math]}$ 在（0， $\text{[math]}$ ]上是减函数，在[ $\text{[math]}$ ，+∞）上是增函数；
（2）解：由（1）知，函数在（1， $\text{[math]}$ ]上是减函数，在[ $\text{[math]}$ ，2]上是增函数，
∴f（x）_min=f（ $\text{[math]}$ ）=2 $\text{[math]}$ ，f（x）_max=f（2）=3
∴a＜2 $\text{[math]}$ 或a＞3时，方程无解；a=2 $\text{[math]}$ 或a=3时，方程有一个解；2 $\text{[math]}$ ＜a＜3时，方程有两个解．
分析：（1）求导函数，利用导数的正负，可得结论；
（2）函数在（1， $\text{[math]}$ ]上是减函数，在[ $\text{[math]}$ ，2]上是增函数，求出函数的最值，即可求得结论．
点评：本题考查函数的单调性，考查方程解的讨论，正确求导，确定函数的单调性是关键．

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