Question

已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）在线段OF上是否存在点M（m，0），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）椭圆方程可设为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，利用两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，即可求得椭圆方程；
（Ⅱ）假设在线段OF上存在点M（m，0）（0＜m＜1），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与x轴不垂直，所以设直线l的方程为y=k（x-1）（k≠0），与椭圆方程联立，再利用韦达定理．根据以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形等价于(

MP

+

MQ

)⊥

PQ

，即(

MP

+

MQ

)•

PQ

=0，由此可确定m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由已知，椭圆方程可设为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
∵两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，
∴b=c=1 ， a=

2

．    
∴所求椭圆方程为

x2

2

+y2=1．    （4分）
（Ⅱ）假设在线段OF上存在点M（m，0）（0＜m＜1），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形．
因为直线与x轴不垂直，所以设直线l的方程为y=k（x-1）（k≠0）．
由 

x2+2y2=2 y=k(x-1)

可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则
∴x1+x2=

4k2

1+2k2

，x1x2=

2k2-2

1+2k2

．

MP

=(x1-m， y1)，

MQ

=(x2-m， y2)，

PQ

=(x2-x1， y2-y1)．其中x₂-x₁≠0
以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形等价于(

MP

+

MQ

)⊥

PQ

，即(

MP

+

MQ

)•

PQ

=0
∴（x₁+x₂-2m，y₁+y₂）•（x₂-x₁，y₂-y₁）=0
∴（x₁+x₂-2m）（x₂-x₁）+（y₁+y₂）（y₂-y₁）=0
∴（x₁+x₂-2m）+k（y₁+y₂）=0
∴(

4k2

1+2k2

-2m)+k2(

4k2

1+2k2

-2)=0
∴2k²-（2+4k²）m=0
∴m=

k2

1+2k2

(k≠0)．
∴m=

1

1 k2 +2

∵

1

k2

+ 2＞2
∴0＜m＜

1

2

．  （12分）．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，正确构建函数是关键．