题目内容

设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在区间（a，b）上的导函数为f″（x），若在区间（a，b）上f″（x）＜0恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”．已知函数f（x）=
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12
x4-
1
3
x3-
3
2
x2在区间（a，b）上为“凸函数”，则b-a的最大值为（　　）
A、4B、3C、2D、1
分析：利用导数的运算法则可得f′（x），f″（x）．由于函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”，
可得：在区间（a，b）上f″（x）＜0恒成立，解得即可．
解答：解：∵函数f（x）=
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x4-
1
3
x3-
3
2
x2，∴f′(x)=
1
3
x3-x2-3x，
∴f″（x）=x2-2x-3，
∵函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”，
∴在区间（a，b）上f″（x）＜0恒成立，
由x2-2x-3＜0，解得-1＜x＜3．
∴a=-1，b=3，
∴b-a=3-（-1）=4．
故选：A．
点评：本题考查了导数的运算法则、“凸函数”的定义，属于基础题．
练习册系列答案
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设函数y=f（x）在（-∞，+∞）内有定义．对于给定的正数K，定义函数 fk(x)=
f(x)，f(x)≤K
K，f(x)＞K
，取函数f（x）=2-x-e-x．若对任意的x∈（+∞，-∞），恒有fk（x）=f（x），则（　　）
A、K的最大值为2
B、K的最小值为2
C、K的最大值为1
D、K的最小值为1
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f(x)
1
f(x)
f(x)≤K
 
f(x)＞K
，取函数f(x)=(
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)|x|，当K=
1
2
时，函数fK（x）的值域是
 
．
设函数y=f（x）在（a，b）上的导数为f′（x），f′（x）在（a，b）上的导数为f″（x），若在（a，b）上，f″（x）＜0恒成立，则称函数f（x）在（a，b）上为“凸函数”．若函数f(x)=
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x4-
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mx3-
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x2为区间（-1，3）上的“凸函数”，则m=
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2
．
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f(x)，f(x)≥K
K，f(x)＜K
，取函数f（x）=2+x+e-x．若对任意的x∈（+∞，-∞），恒有fk（x）=f（x），则（　　）

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