Question

若函数f（x）在定义域上存在不相等的实数x₁、x₂，使得，则称此函数为“和谐函数”．下列函数中是“和谐函数”的是

1. A.
   f（x）=x²
2. B.
   f（x）=2^x
3. C.
   f（x）=tanx
4. D.
   

Answer 1

C
分析：选项A可以用反证法；选项B和D可借助于图象直观说明；选项D取值验证即可．
解答：若f（x）=x²为和谐函数，则存在x₁≠x₂，使得，即，所以有，x₁=x₂，与x₁≠x₂矛盾，所以A不正确；
等式是指若点（x₁，y₁），（x₂，y₂）在一个函数图象上，它们的中点也在这个函数图象上，
由指数函数f（x）=2^x和对数函数的图象如图可知，两函数图象上不存在两点满足上面等式，所以B、D不正确；
对于C，取，，则有，所以函数f（x）=tanx为和谐函数．
故选C．
点评：本题考查了进行简单的演绎推理，考查了反证法和特殊值法，考查了学生对指数函数和对数函数图的理解与掌握．