Question

有以下命题：
①若f（x）在闭区间[a，b]上的图象连续不断，且f（x）在区间（a，b）上有零点，则有f（a）f（b）＜0；
②求f（x）=x²的零点时，不能用二分法．
③已知g（x）=f（x）-x，h（x）=f[f（x）]-x，若g（x）的零点为x₁，x₂．则x₁，x₂也是h（x）的零点；
④若x₁是f（x）=2^x+2x-5函数的零点，x₂是函数g（x）=2log₂（x-1）+2x-5的零点，则x₁+x₂=

7

2

．
其中正确的命题是

②③④

（写出所正确命题的序号）

Answer 1

分析：举出反例f（x）=x²，可判断①的真假，根据二分法判断函数零点（对应方程的根的适用范围）可判断②的真假；根据零点的定义，根据g（x）的零点为x₁，x₂．判断h（x₁），h（x₂）是否为零，可判断③；根据零点的定义及指数和对数的运算性质及指数函数和对数函数的单调性，求出x₁+x₂，可判断④．

解答：解：f（x）=x²在闭区间[-1，1]上的图象连续不断，且f（x）在区间（-1，1）上有零点，但f（-1）f（1）＞0，故①错误；
由①中，f（x）=x²的零点为0，但不能使用二分法求解，故②正确；
若g（x）的零点为x₁．则f（x₁）=x₁，则h（x₁）=f[f（x₁）]-x₁=f（x₁）-x₁=x₁-x₁=0，即x₁是h（x）的零点，同理x₂也是h（x）的零点，故③正确；
由题意得：2^x₁+2•x₁=5；2^x₂+2log₂（x₂-1）=5，则2^x₁=5-2•x₁，故x₁=log₂（5-2x₁），即2x₁=2log₂（5-2x₁）
令2x₁=7-2t，代入上式得7-2t=2log₂（2t-2）=2+2log₂（t-1），故5-2t=2log₂（t-1）
即t=x₂，即2x₁=7-2x₂，即x₁+x₂=

7

2

，故④正确；
故答案为：②③④

点评：本题以命题的真假判断为载体考查了命题的真假判断与应用，正确理解零点的定义及二分法求函数零点的适用范围是解答的关键．