Question

已知函数y=f（x）=

lnx

x

．
（1）求函数y=f（x）的图象在x=

1

e

处的切线方程；
（2）求y=f（x）的最大值；
（3）设实数a＞0，求函数F（x）=af（x）在[a，2a]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用导数的几何意义：导数在切点处的导数值是曲线的切线的斜率，求出切线方程．
（2）令导函数为0求出根，判断根左右两边的导函数符号，判断出函数的单调性，求出函数的最值．
（3）利用（2）的结论，判断出函数的最大值在e处取得；最小值在端点处取得；通过对a的分类讨论比较出两个端点值的大小，求出最小值．

解答：解：（1）∵f（x）定义域为（0，+∞），∴f′（x）=

1-lnx

x2

∵f（

1

e

）=-e，又∵k=f′（

1

e

）=2e²，
∴函数y=f（x）的在x=处的切线方程为：
y+e=2e²（x-

1

e

），即y=2e²x-3e．
（2）令f′（x）=0得x=e．
∵当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）在（0，e）上为增函数，
当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，则在（e，+∞）上为减函数，
∴f_max（x）=f（e）=

1

e

．
（3）∵a＞0，由（2）知：
F（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减．
∴F（x）在[a，2a]上的最小值f（x）_min=min{F（a），F（2a）}，
∵F（a）-F（2a）=

1

2

ln

a

2

，
∴当0＜a≤2时，F（a）-F（2a）≤0，f_min（x）=F（a）=lna．
当a＞2时，F（a）-F（2a）＞0，f（x）_min=f（2a）=

1

2

ln2a．

点评：本题考查导数的几何意义：导数在切点处的导数值是曲线的切线的斜率、函数的单调性与导函数符号的关系、
利用导数求函数的最值、分类讨论的数学思想方法．