Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），
（1）若函数f（x）满足f（x）=f（2-x）恒成立，且a＞0，求使不等式f（m-1）＞f（2m+3）成立的m的取值范围；
（2）已知函数g（x）=-x²-3，且f（x）+g（x）为奇函数．若当x∈[-1，2]时，f（x）的最小值为1，求f（x）的表达式．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=f（2-x）恒成立，可得函数图象的对称轴为x=1，由a＞0可得函数图象的开口方向朝上，故可将不等式f（m-1）＞f（2m+3）转化为|（m-1）-1|＞|（2m+3）-1|，两边平方后化为整式不等式可得m的取值范围；
（2）求出f（x）+g（x）的表达式，利用奇函数的定义可得a，c的值，利用二次函数的最值列不等式，从而求出系数即可．

解答：解：（1）若f（x）=f（2-x）恒成立
即函数图象的对称轴为x=1
又∵a＞0，即函数图象的开口方向朝上
故不等式f（m-1）＞f（2m+3）可化为
|（m-1）-1|＞|（2m+3）-1|
即|m-2|＞|2m+2|
两边平方后整理得m²+4m＜0
解得-4＜m＜0
即使不等式f（m-1）＞f（2m+3）成立的m的取值范围为（-4，0）
（2）∵函数g（x）=-x²-3，
∴f（x）+g（x）=（a-1）x²+bx+（c-3）
若f（x）+g（x）为奇函数
则f（-x）+g（-x）=-[f（x）+g（x）]
即（a-1）x²-bx+（c-3）=-[（a-1）x²+bx+（c-3）]
解得a=1，c=3
此时f（x）=x²+bx+3=（x+

b

2

）²+3-

b2

4

∵当x∈[=-1，2]时f（x）的最小值为1
∴

- b 2 ＜-1 f(-1)=1-b+3=1

…①，或

-1≤- b 2 ≤2 3- b2 4 =1

…②，或

- b 2 ＞2 f(2)=4+2b+3=1

…③
解①得b=3，解②得b=-2

2

，③无解
∴f（x）=x²+3x+3或f（x）=x²-2

2

x+3

点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，二次函数在闭区间上的最值，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．