Question

已知函数f（x）=cos²x-sin²x+sin2x
（1）求f（x）的最大值和最小正周期；
（2）设α，β∈[0，

π

2

]，f（

α

2

+

π

8

）=

5

2

，f（

β

2

+π）=

2

，求sin（α+β）的值．

Answer 1

分析：（1）由三角函数的运算可得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

），易得最值和周期；
（2）由题意可得cosα=

10

4

，进而可得sinα=

6

4

，同理可得β=

π

4

，进而可得sin（α+β）=sin（α+

π

4

），代入数值计算即可．

解答：解：（1）∵f（x）=cos²x-sin²x+sin2x=cos2x+sin2x
=

2

（

2

2

cos2x+

2

2

sin2x）=

2

sin（2x+

π

4

）…（3分）
由振幅的意义可得，函数f（x）的最大值为

2

…（4分）
最小正周期T=

2π

2

=π…（5分）
（2）∵f（

α

2

+

π

8

）=

2

sin（2（

α

2

+

π

8

）+

π

4

）=

2

sin（α+

π

2

）=

2

cosα=

5

2

，
∴cosα=

10

4

，又因为α∈[0，

π

2

]，∴sinα=

6

4

…（8分）
同理可得f（

β

2

+π）=

2

sin（2（

β

2

+π）+

π

4

）=

2

sin（β+

π

4

）=

2

，…（9分）
又因为β∈[0，

π

2

]，∴β+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]，∴β+

π

4

=

π

2

，解得β=

π

4

…（11分）
∴sin（α+β）=sin（α+

π

4

）=sinαcos

π

4

+cosαsin

π

4

=

3 + 5

4

…（12分）

点评：本题考查三角函数的化简和求值，涉及函数的周期和最值的求解，属中档题．