Question

（2013•济宁二模）等比数列{a_n}中，“a₁＜a₃”是“a₅＜a₇”的（　　）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

Answer 1

分析：设出等比数列{a_n}的公比为q，根据等比数列的定义知q不为零．用等比数列的通项公式分别将，“a₁＜a₃”和“a₅＜a₇”化成关于首项a₁和公比q的不等式，用不等式的等价变形法则进行变形，可得正确答案．

解答：解：设等比数列{a_n}的公比为q，得到它的第n项为a_n=a₁q^n-1
①先看充分性，
∵等比数列的公比q≠0
∴q²ⁿ=（qⁿ）²＞0，从而q⁴＞0
若a₁＜a₃，即a₁＜a₁q²，两边同乘以q⁴得：a₁q⁴＜a₁q⁶
即a₅＜a₇成立，因此充分性成立
②再看必要性，
若a₅＜a₇可得a₁q⁴＜a₁q⁶，两边都除以q⁴得a₁＜a₁q²，
即a₁＜a₃成立，因此必要性成立
综上可得“a₁＜a₃”是“a₅＜a₇”的充分必要条件
故选A

点评：本题以等比数列的通项和不等式的基本性质为例，考查了充分必要条件的判断，属于基础题．