Question

已知圆C：x²+y²+2x-4y=0，若圆C的切线在x轴和y轴上截距相等，求切线的方程．

Answer 1

分析：将圆C方程化为标准方程，找出圆心C坐标与半径r，分两种情况考虑，当a=b=0时，切线方程设为y=kx，根据直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出此时切线方程；当a=b≠0时，设出切线的截距式方程，同理求出a与b的值，即可确定出此时的切线方程．

解答：解：圆x²+y²+2x-4y=0化为标准方程为（x+1）²+（y-2）²=5，
∴圆心C（-1，2），半径r=

5

，
设圆C的切线在x轴和y轴上的截距分别为a，b，
当a=b=0时，切线方程可设为y=kx，即kx-y=0，
由点到直线的距离公式得：

5

=

|-k-2|

k2+1

，
解得：k=

1

2

，
此时切线的方程是y=

1

2

x；
当a=b≠0时，切线方程为

x

a

+

y

b

=1，即x+y-a=0，
由点到直线的距离公式得：

5

=

|-1+2-a|

12+12

，
解得：a=1±

10

，
此时切线的方程为x+y-1±

10

=0，
综上，所求切线方程为y=

1

2

x或x+y-1±

10

=0．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，直线的一般式方程，以及直线的截距式方程，利用了分类讨论的思想，是一道综合性较强的试题．