Question

已知正三棱柱ABC－A₁B₁C₁所有的棱长都为2，E是A₁B的中点，F在棱CC₁上．

(1)当C₁F＝CF时，求多面体ABCFA₁的体积；

(2)当点F使得A₁F＋BF为最小时，求异面直线AE与A₁F所成的角．

Answer 1

解：(1)∵C₁F＝CF，AC＝CC₁＝2，

由正三棱柱知△ABC的高为且等于四棱锥B－A₁ACF的高．

即多面体ABCFA₁的体积为.

(2)将侧面BCC₁B₁展开到侧面A₁ACC₁得到矩形ABB₁A₁，连接A₁B交C₁C于点F，此时点F使得A₁F＋BF为最小．此时FC平行且等于A₁A的一半，

∴F为C₁C的中点．

过E作EG∥A₁F交BF于G，连接AG，则∠AEG就是AE与A₁F所成的角或所成角的补角．

过G作GH⊥BC，交BC于H，连接AH，

则GH＝FC＝.又AH＝，于是在Rt△AGH中，

AG＝＝；在Rt△ABA₁中，AE＝.

∴△AEG中，cos∠AEG＝

＝＝0，

∴∠AEG＝90°.

故异面直线AE、A₁F所成的角为90°.